неравенства, линейные неравенства, квадратные неравенства

Неравенства — важный раздел алгебры. В этой статье вы узнаете:

? Основные виды неравенств
? Свойства и правила преобразования
? Методы решения разных типов неравенств
? Особые случаи и частые ошибки
? Практическое применение
? Калькулятор неравенств

1. Основные понятия

Неравенство — математическое выражение, содержащее знаки:

> (больше)
< (меньше)
? (больше или равно)
? (меньше или равно)

Примеры:

Линейное: 3x + 2 > 8
Квадратное: x? - 5x ? 6
Дробное: (x+1)/(x-2) < 0

2. Виды неравенств

Тип	Пример	Особенности
Линейные	`2x - 5 < 3`	Решаются аналогично уравнениям
Квадратные	`x? - 4 > 0`	Метод интервалов
Дробно-рациональные	`(x-3)/(x+2) ? 0`	Учет ОДЗ
Системы неравенств	`{2x > 6; x < 10}`	Общее решение
Двойные	`-3 < 2x+1 ? 5`	Два неравенства в одном

3. Методы решения

Линейные неравенства

Перенести слагаемые
Разделить на коэффициент (меняя знак при делении на отрицательное число)

Пример:
-3x + 6 ? 12
-3x ? 6
x ? -2 (знак поменялся!)

Квадратные неравенства

Найти корни уравнения
Построить параболу
Определить интервалы

Метод интервалов

Найти нули и точки разрыва
Разбить числовую прямую
Определить знаки на интервалах

4. Особые случаи

? Нет решений:
x? + 1 < 0 — не имеет решений

? Все действительные числа:
(x-3)? ? 0 — верно для любого x

? Только одно решение:
|x+5| ? 0 ? x = -5

5. Практическое применение

Экономика: определение прибыльных условий
Физика: расчет допустимых значений параметров
Геометрия: нахождение возможных размеров фигур
Программирование: задание условий выполнения кода

6. Частые ошибки

? Не меняют знак при умножении/делении на отрицательное число
? Неправильно определяют направление параболы
? Забывают проверить ОДЗ в дробных неравенствах
? Неверно записывают ответ в виде промежутков