Квадратные уравнения

Квадратные уравнения — фундаментальная тема алгебры. В этом руководстве вы узнаете:

? Что такое квадратное уравнение
? 3 метода решения
? Формулы и примеры вычислений
? Особые случаи и подводные камни
? Практическое применение в науке

1. Основные понятия

Квадратное уравнение — уравнение вида:

где:

• a ? 0 (иначе это линейное уравнение)

• a, b, c — коэффициенты

• x — переменная

Примеры:

• 2x? - 5x + 3 = 0

• x? - 4 = 0 (неполное)

• 3x? + 7x = 0 (неполное)

2. Методы решения

1. Через дискриминант (универсальный способ)

1. Вычисляем дискриминант:

   D = b? - 4ac

2. Анализируем:

   • D > 0: 2 корня

   • D = 0: 1 корень

   • D < 0: нет действительных корней

3. Находим корни:

   
   x = (-b ± ?D)/2a

Пример:

D = 25 - 24 = 1
x? = (5 + 1)/2 = 3
x? = (5 - 1)/2 = 2

2. Разложение на множители

Когда уравнение можно представить как:

Тогда корни: x = x? и x = x?

Пример:

(x - 3)(x + 2) = 0
x? = 3, x? = -2

3. Теорема Виета (для приведенных уравнений)

Для x? + px + q = 0:

x? · x? = q

Пример:

x? + x? = 7
x? · x? = 12
x? = 3, x? = 4

3. Особые случаи

4. Практическое применение

? Физика: расчет траекторий
? Архитектура: проектирование арок
? Экономика: поиск оптимальных значений
? Компьютерная графика: построение кривых

5. Калькулятор квадратных уравнений

Наш инструмент:
? Решает полные и неполные уравнения
? Показывает пошаговое решение
? Считает дискриминант и корни

Пример работы:

Решение:
D = (-4)? - 4·2·(-6) = 64
x? = (4 + 8)/4 = 3
x? = (4 - 8)/4 = -1

6. Частые ошибки

? Забывают, что a ? 0
? Путают знаки при вычислении дискриминанта
? Неправильно применяют теорему Виета
? Теряют корень в неполных уравнениях

7. Историческая справка

• Первые решения встречаются у вавилонян (2000 г. до н.э.)

• Современную формулу вывел Аль-Хорезми в IX веке

• Термин "дискриминант" ввел Джеймс Сильвестр в 1851 году

8. Практические задания

Решите уравнения:

1. x? - 9 = 0

2. 2x? + 5x - 3 = 0

3. x? - 6x + 9 = 0

*(Ответы: 1) ±3; 2) 0.5 и -3; 3) 3)*

Системы линейных уравнений

Выражения и переменные

Линейные уравнения

Неравенства