Пропорции: Секрет гармонии и точных расчетов
Наверняка вы не раз слышали слова «пропорционально», «соразмерно», «непропорционально». Мы говорим так о фигуре человека, частях здания или даже о распределении обязанностей. Интуитивно мы понимаем, что речь идет о правильном соотношении, о гармонии и балансе. Но за этим бытовым понятием скрывается один из самых мощных и полезных инструментов математики — пропорция.
Давайте разберемся, что это такое, как это работает и почему умение составлять и решать пропорции пригодится вам не только на уроках, но и в повседневной жизни, от кухни до планирования бюджета.
Что такое отношение? Первый шаг к пропорции
Прежде чем говорить о пропорции, нужно понять, что такое отношение. В математике отношение — это просто способ сравнить две величины путем деления. Звучит сложно, но на деле все элементарно.
Представьте, что в корзине лежат 2 яблока и 3 апельсина. Отношение яблок к апельсинам будет 2 к 3. Записать это можно двумя способами:
* Через двоеточие: 2 : 3
* В виде дроби: 2/3
Отношение показывает, сколько единиц одной величины приходится на единицу другой. В нашем примере на каждые 2 яблока приходится 3 апельсина. Вот и все. Это и есть отношение.
Пропорция — это равенство двух отношений
Теперь мы подошли к главному. Пропорция — это утверждение о том, что два отношения равны друг другу.
Допустим, у нас есть две одинаковые корзины с фруктами. В первой 2 яблока и 3 апельсина (отношение 2:3), а во второй — 4 яблока и 6 апельсинов (отношение 4:6). Давайте сравним эти отношения.
Отношение 4/6 можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2. Получим 2/3.
Выходит, что 2/3 = 4/6.
Это и есть пропорция! Мы можем записать ее так:
2 : 3 = 4 : 6
Читается это как: «два относится к трем так же, как четыре относится к шести».
Числа, стоящие по краям пропорции (в нашем случае 2 и 6), называются крайними членами.
Числа, стоящие в середине (3 и 4), называются средними членами.
Это важно запомнить, потому что на этом строится главное правило пропорций.
Основное свойство пропорции, или «правило креста»
Самое замечательное в пропорциях — это их основное свойство, которое невероятно упрощает любые вычисления. Звучит оно так:
> Произведение крайних членов пропорции равно произведению ее средних членов.
Вернемся к нашему примеру: 2 : 3 = 4 : 6.
* Крайние члены: 2 и 6. Их произведение: 2 × 6 = 12.
* Средние члены: 3 и 4. Их произведение: 3 × 4 = 12.
Как видите, 12 = 12. Свойство работает!
Это правило часто называют «правилом креста», потому что если записать пропорцию в виде дробей, то для проверки равенства мы перемножаем числа крест-накрест: