Что такое натуральные числа? От счета на пальцах до основ математики
Задумывались ли вы когда-нибудь, с чего начинается вся математика? Не с громоздких формул или сложных теорем, а с чего-то простого и интуитивно понятного. С того, что умеет даже маленький ребенок: с умения считать. «Один, два, три...» — именно в этих словах и скрывается суть натуральных чисел. Давайте разберемся, что это за числа, почему они так важны и почему из-за нуля до сих пор ведутся споры.
С чего все начинается: считаем яблоки
Представьте, что перед вами лежит корзина с яблоками. Как узнать, сколько их там? Вы начнете их пересчитывать: первое яблоко, второе, третье, четвертое... Числа, которые вы используете для этого процесса — 1, 2, 3, 4 и так далее — и есть натуральные числа.
Проще говоря, натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. Они возникли из самой базовой потребности человека — определить количество чего-либо. Сколько овец в стаде? Сколько дней до полнолуния? Сколько членов в семье? На все эти вопросы отвечают натуральные числа.
Они целые, положительные и идут друг за другом в строгом порядке. За каждым числом всегда следует другое, ровно на единицу большее. Этот ряд бесконечен — как бы много яблок у вас ни было, вы всегда можете добавить еще одно.
Для обозначения всего множества (то есть всей совокупности) натуральных чисел в математике используют специальный символ — N.
Вечный спор: а ноль — натуральное число?
Казалось бы, все просто. Но тут появляется он — ноль. И мнения математиков разделяются.
1. Традиционный подход (ноль не входит). В большинстве школьных программ, особенно в России и многих странах Европы, принято считать, что натуральные числа начинаются с единицы. Логика здесь простая: мы считаем предметы, а когда предметов нет, мы не начинаем счет. Нельзя же сказать «у меня ноль яблок, это первое количество». Счет начинается с первого предмета, то есть с числа 1.
2. Современный подход (ноль входит). Однако во многих областях высшей математики, информатике и в работах западных ученых ноль часто включают в состав натуральных чисел. Это бывает удобно с точки зрения теории множеств, где ноль может обозначать мощность пустого множества (то есть количество элементов в наборе, где нет ничего). Программисты тоже любят ноль — ведь нумерация элементов во многих языках программирования (например, в массивах) начинается именно с него.
Так кто же прав? На самом деле, правы все. Вопрос о том, считать ли ноль натуральным числом — это вопрос соглашения, или, как говорят математики, конвенции. Главное — всегда уточнять, какую систему вы используете. В повседневной жизни мы почти всегда имеем в виду числа от 1 и дальше.
Главные свойства: что «умеют» натуральные числа
У натуральных чисел есть несколько ключевых свойств, которые делают их фундаментом для всей остальной арифметики.
* Упорядоченность. Любые два натуральных числа можно сравнить: одно из них либо больше, либо меньше другого, либо они равны. 7 больше 5, 100 меньше 101. Они выстроены в строгий, нерушимый ряд.
Замкнутость относительно сложения и умножения. Это звучит сложно, но на деле очень просто. Если вы сложите два любых натуральных числа, в результате вы всегда получите натуральное число (5 + 3 = 8). То же самое и с умножением (5 3 = 15). А вот с вычитанием и делением это правило уже не работает. Например, 3 − 5 = −2 (это уже не натуральное, а целое отрицательное число), а 3 / 5 = 0,6 (это уже дробное, рациональное число). Именно эта «незамкнутость» и заставила людей в свое время придумывать новые виды чисел.
* Существование наименьшего элемента. У ряда натуральных чисел есть начало — это единица (или ноль, в зависимости от соглашения). А вот самого большого натурального числа не существует, ряд уходит в бесконечность.
Почему они так важны?
Натуральные числа — это не просто инструмент для счета. Это алфавит, из которого состоит язык математики.
1. Основа для других чисел. На базе натуральных чисел строятся все остальные числовые системы. Добавили к ним ноль и отрицательные числа — получили целые числа (Z). Добавили дроби — получили рациональные числа (Q). Заполнили все пробелы между ними — получили действительные числа (R). Но в основе всего лежит простой счет: «раз, два, три...».
2. Порядок и нумерация. Мы используем их не только для определения количества, но и для установления порядка: первый, второй, третий этаж; страница №5; игрок под номером 10.
3. Основа цифрового мира. Вся цифровая техника, от калькулятора до смартфона, в своей основе оперирует кодами, построенными на натуральных числах (в первую очередь, на 0 и 1 в двоичной системе).
Заключение: от пальцев до компьютеров
Натуральные числа кажутся нам чем-то само собой разумеющимся. Мы учимся им в раннем детстве и используем их каждый день, не задумываясь об их глубинной сути. Но именно эта простая и элегантная концепция — возможность посчитать и упорядочить объекты — лежит в основе не только математики, но и всей современной цивилизации. От счета скота на заре человечества до сложнейших алгоритмов, управляющих космическими кораблями, — все это было бы невозможно без старых добрых 1, 2, 3...